第 2 课时 一元二次不等式的应用学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一 分式不等式的解法思考 >0 与(x－3)(x＋2)>0 等价吗？将>0 变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？答案 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．梳理 一般的分式不等式的同解变形法则：(1)>0⇔f ( x )· g ( x )>0 ；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0.知识点二 一元二次不等式恒成立问题思考 x－1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式 x－1>0 的解集有什么关系？答案 x－1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数 y＝x－1 在区间[2,3]上的图象恒在 x轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式 x－1>0 的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式 x－1>0 的解集的子集．梳理 一般地，“不等式 f(x)>0 在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在 x 轴上方．区间[a，b]是不等式 f(x)>0 的解集的子集．恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f ( x ) max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f ( x ) min.1．由于>0 等价于(x－5)(x＋3)>0，故 y＝与 y＝(x－5)(x＋3)图象也相同．(×)2．x2＋1≥2x 等价于(x2＋1)min≥2x.(×)3．对于 ax2＋3x＋2>0，当 a＝1 时与 a＝－1 时，对应的不等式是两个独立的不等式，所以解集也是相互独立的，不能求并集．(√)类型一 分式不等式的解法例 1 解下列不等式：(1)<0； (2)≤1.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法解 (1)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0⇔－40(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．跟踪训练 1 解下列不等式．(1)≥0；(2)>1.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法解 (1)原不等式可化为解得∴x<－或 x≥，∴原不等式的解集为.(2)方法一 原不等式可化为或解得或∴－30，化简得>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3
