3.2 均值不等式（一）学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均值与几何平均值思考 如图，AB 是圆 O 的直径，点 Q 是 AB 上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点 Q 作 PQ 垂直 AB于 Q，连接 AP，PB.如何用 a，b 表示 PO，PQ 的长度？ 梳理 一般地，对于正数 a，b，为 a，b 的________平均值，为 a，b 的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≤.其几何意义如上图中的|PO|≥|PQ|.知识点二 均值不等式及其常见推论思考 如何证明不等式≤(a>0，b>0)? 梳理 ≤(a>0，b>0)．当对正数 a，b 赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤()2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b 同号)；(3)当 ab>0 时，＋≥2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．类型一 常见推论的证明例 1 证明不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．引申探究证明不等式()2≤(a，b∈R)． 反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是 a，b∈R，与均值不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练 1 已知 a，b，c 为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 类型二 用均值不等式证明不等式例 2 已知 x、y 都是正数．求证：(1)＋≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 反思与感悟 在(1)的证明中把，分别看作均值不等式中的 a，b 从而能够应用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练 2 已知 a、b、c 都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc. 类型三 用均值不等式比大小例 3 某工厂生产某种产品，第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，a，b，x 均大于零，则( )A．x＝ B．x≤C．x＞ D．x≥反思与感悟 均值不等式≥一端为和，一端为积，使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练 3 设 a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg ，则 P，Q，R 的大小关系是( )A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知 a>0，b>0，则＋＋2 的最小值是( )A．2 B．2 C．4 D．52．若 0
>>b B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>3．设 a、b 是实数，且 a＋b＝3，则 2a＋2b的最小值...
