高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式名师导航学案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案

3.2 均值不等式知识梳理1.几个重要不等式（1）a2+b2≥2ab(a,b∈R);（2）2ba ≥ab (a,b＞0);（3） ab + ba ≥2(ab＞0);（4）ab≤(2ba )2(a,b∈R).2.利用算术平均数与几何平均数之间的关系求最大值、最小值（1）若 a,b＞0，且 a+b=P（P 为常数），则 ab 存在最大值为42P.若 a,b＞0，且 ab=S（S 为常数），则 a+b 存在最小值为S2.（2）应用均值不等式求最值应满足的条件是一正、二定、三相等.知识导学 本节的主要问题是均值不等式的应用，要理解并且牢记公式及其变形.它的应用范围是非常广泛的，如：求最值、证明不等式、解决实际问题、比较大小、求取值范围等.其中应用最重要的是积大和小定理：两个正数当和是定值时积有最大值，当积是定值时和有最小值.应用该定理要注意三个限制条件——一正、二定、三相等.当等号成立的条件不成立时，要从函数的性质（单调性）入手思考.疑难突破1.利用均值不等式求最值时应满足什么条件?剖析：利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正、二定、三相等”.“一正”,所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案.例如,很容易根据均值不等式得出 y=x+ x1 ≥2 的错误结论.“二定”,含变量的各项的和或者积必须是常数，例如要求 a+b 的最小值，ab 必须是定值.求ab 的最大值,a+b 必须是定值.“三相等”,具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值.例如，y=22 x +212 x，满足“正”和“定值”的条件，但要取等号必须22 x=212 x，即 x2+2=1，这是不可能的，所以其最小值不是 2.在利用均值不等式求最值时,必须同时考虑以上三个条件,如果其中一个不成立就可能得出错误的答案.2.利用均值不等式求函数最值时,凑定值有哪些技巧?剖析：利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形.在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几点:(1)将所得出的恒为正的函数式平方，然后再使用均值不等式求解.有时候直接带有根号的定值不容易看出来,可以先平方再找最值,得出结果开方即可.但是要注意平方前后的正负问题;(2)有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数，再使用均值不等式求解.主要是1一些比较复杂的式子,使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁,也更容易得出定值;(3)有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的.放缩时要保证几个等号能同时成立;(4)有时候使用均值不等式的变形,要根据题目的特点，选用合适的公式.例如 ab≤(2ba )2、222ba ≥(2ba )2等.2