3.2 均值不等式(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件？ (2)在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？ (3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？ 1．均值定理如果 a，b∈R＋，那么≥.当且仅当 a＝b 时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式．对任意两个正实数 a，b，数称为 a，b 的算术平均值(平均数)，数称为 a，b 的几何平均值(平均数)．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．[点睛] (1)“a＝b”是≥的等号成立的条件．若 a≠b，则≠，即＞.(2)均值不等式≥与 a2＋b2≥2ab 成立的条件不同，前者 a＞0，b＞0，后者 a∈R，b∈R.2．利用均值不等式求最值(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立( )(2)若 a≠0，则 a＋≥2＝4( )(3)若 a>0，b>0，则 ab≤2( )解析：(1)错误．任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b 都为正数时，不等式 a＋b≥2 成立．(2)错误．只有当 a>0 时，根据均值不等式，才有不等式 a＋≥2＝4 成立．(3)正确．因为≤，所以 ab≤2.答案：(1)× (2)× (3)√2．已知 f(x)＝x＋－2(x＞0)，则 f(x)有( )A．最大值为 0 B．最小值为 0C．最小值为－2 D．最小值为 2答案：B3．对于任意实数 a，b，下列不等式一定成立的是( )A．a＋b≥2 B.≥C．a2＋b2≥2ab D.＋≥2答案：C1预习课本 P69～71，思考并完成以下问题 4．已知 0＜x＜1，则函数 y＝x(1－x)的最大值是________．答案：利用均值不等式比较大小[典例] (1)已知 m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则 m，n 之间的大小关系是( )A．m>n B．mb>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则 P，Q，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以 m≥2＋2＝4，由b≠0，得 b2≠0，所以 2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知 m>n.(2)因为 a>b>1，所以 lg a>lg b>0，所以 Q＝(lg a＋lg b)>＝P；Q＝(lg a＋lg b)＝lg ＋lg ＝lg
