1.1.1 正弦定理(一)学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理的推导思考 1 如图，在 Rt△ABC 中，、、各自等于什么？答案 ＝＝＝c.思考 2 在一般的△ABC 中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？答案 在一般的△ABC 中，＝＝仍然成立，课本采用边 AB 上的高 CD＝bsin A＝asin B 来证明．梳理 任意△ABC 中，都有＝＝，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．知识点二 正弦定理的呈现形式1.＝＝＝2R(其中 R 是△ ABC 外接圆的半径 )；2．a＝＝＝2Rsin A；3．sin A＝，sin B＝，sin C＝.知识点三 解三角形一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．类型一 定理证明例 1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．证明 如图，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B.∴CD＝bsin A＝asin B．∴＝.同理，＝.故＝＝.反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．1(2)要证＝，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A 都对应 CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练 1 如图，锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R，证明＝2R.证明 连接 BO 并延长，交外接圆于点 A′，连接 A′C，则圆周角∠A′＝∠A. A′B 为直径，长度为 2R，∴∠A′CB＝90°，∴sin A′＝＝，∴sin A＝，即＝2R.类型二 用正弦定理解三角形例 2 在△ABC 中，已知 A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9 cm，解三角形．解 根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得 b＝＝≈80.1(cm)；根据正弦定理，得 c＝＝≈74.1(cm)．反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：① 已知三角形的任意两角与一边；② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练 2 在△ABC 中，已知 a＝18，B＝60°，C＝75°，求 b 的值．解 根据三...
