3．2 均值不等式 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用． 2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3．能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．1．均值不等式(1)均值定理(又称基本不等式或均值不等式)① 形式：≥．② 成立的前提条件：a >0 ，b >0 ．③ 等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．(2)算术平均值和几何平均值① 定义叫做正实数 a，b 的算术平均值．叫做正实数 a，b 的几何平均值．② 结论两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．(3)重要不等式及变形公式①a2＋b2≥2ab；②ab≤；③ab≤；④＋≥2 (ab>0)；⑤≤；⑥a ＋ b ≤ .上述不等式中等号成立的条件均为 a ＝ b ．2．利用均值不等式求最值利用均值不等式≤，求函数的最值．已知 x、y 都是正数，(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值．(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值．上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知 xy＜0，则代数式( )A．有最小值 2B．有最大值－2C．有最小值－2D．不存在最值答案：B2．若 x>0，则 x＋的最小值为________．解析：x＋≥2＝2，当且仅当 x＝时，“＝”成立．答案：213．基本不等式中的 a，b 可以是值为任意正数的代数式吗？解：可以． 利用均值不等式比较大小[学生用书 P42] 已知：a、b、c∈(0，＋∞)且 a＋b＋c＝1，试比较 a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小．【解】 因为 a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，所以 2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，①所以 a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.① 式两边分别加上 a2＋b2＋c2得：3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，所以 a2＋b2＋c2≥，3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，所以 ab＋bc＋ca≤.综上知，a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ca.要想运用均值不等式，需具有配凑意识，把题目给的条件配凑变形，把待求的数或式拆配得当，才能顺利地进行运算． 已知 a，b 是正数，试比较与的大小．解：因为 a>0，b>0，所以＋≥2>0，所以≤＝，即≤(当且仅当 a＝b 时取“＝”)． 利用均值不等式证明不等式[学生用书 P43] 已知 a、b、c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.【证明】 因为 a，b，c，，，均大于 0，所以＋b≥2 ＝2a.当且仅当＝b，即 a＝b 时等号成立．＋c≥2 ＝2b.当且仅当＝c，即 b＝c 时等号成立．＋a≥2 ＝2c，当且仅当＝a，即 a＝c 时等号...
