高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理课堂探究学案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案

1.1.1 正弦定理课堂探究一、判断三角形解的个数剖析：(1)代数法在△ABC 中，已知 a，b，∠A，由正弦定理可得 sin B＝sin A＝m．① 当 sin B>1 时，这样的∠B 不存在，即三角形无解．② 当 sin B＝1 时，∠B＝90°，若∠A<90°，则三角形有一解，否则无解．③ 当 sin B<1 时，满足 sin B＝m 的角有两个，其中设锐角为 α，钝角为 β，则当∠A＋α>180°时，三角形无解；当∠A＋α<180°，且∠A＋β<180°时，有两解；当∠A＋α<180°且∠A＋β>180°时有一解．(2)几何法根据条件中∠A 的大小，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况．作出已知∠A，以 A 为圆心，边长 b 为半径画弧交∠A 的一边于 C．使未知的边 AB 水平，顶点 C在边 AB 上方，以点 C 为圆心，边长 a 为半径作圆，该圆与射线 AB 交点的个数，即为解的个数，如下表所示：∠A 为锐角∠A 为钝角或直角图形①②关系式①a＝bsin A②a≥bbsin Aba≤b解的个数一解两解无解一解无解二、教材中的“探索与研究”在正弦定理中，设＝＝＝k．请研究常数 k 与△ABC 外接圆的半径 R 的关系．(提示：先考察直角三角形)剖析：(1)如图 1，当△ABC 为直角三角形时，直接得到＝＝＝2R(a，b，c 分别为△ABC 中角 A，B，C 的对边，R 为外接圆半径)．1(2)如图 2，当△ABC 为锐角三角形时，连接 BO 并延长交圆 O 于点 D，连接 CD．因为∠A＝∠D，所以＝＝2R，同理＝＝2R，即＝＝＝2R．(3)如图 3，当△ABC 为钝角三角形且∠A 为钝角时，连接 BO 并延长交圆 O 于点 D，连接CD，∠A＝180°－∠D，所以＝＝＝2R．由(2)知＝＝2R，即＝＝＝2R．综上所述，对于任意△ABC，＝＝＝2R 恒成立．归纳总结：根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式：(1)asin B＝bsin A；asin C＝csin A；bsin C＝csin B．(2)a＝；sin B＝．(3)＝＝＝＝2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．(4)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．(5)边化角公式：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．(6)角化边公式：sin A＝，sin B＝，sin C＝．题型一 解三角形【例 1】 已知在△ABC 中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求 a，b 和∠B．分析：正弦定理中有三个等式，每个等式都含有四个未知量，可知三求一．当知道两个角时，即可知道第三个角，所以若再知道三边中任意一边，就可解这个三角形．解： ＝，∠A＝45°，∠C＝3...