高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理课堂探究学案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案

1.1.2 余弦定理课堂探究一、三角形中的四类基本问题剖析：解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理求出第三个角．二、教材中的“？”在△ABC 中，令 AB�＝c，AC�＝b，BC�＝a，你能通过计算|a|2＝a·a 证明余弦定理吗？剖析：如图所示，|a|2＝a·a＝a2＝ BC�· BC�＝( AC�－ AB�)·( AC�－ AB�)＝2AC�－2 AC�· AB�＋2AB�＝2AC�－2| AC�|| AB�|cos A＋2AB�＝b2＋c2－2bccos A，即 a2＝b2＋c2－2bccos A．同理可证 b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．知识拓展：除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决．(1)(坐标法)如图所示，以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点 A，B，C 的坐标分别为 A(0，0)，B(ccos A，csin A)，C(b，0)，根据两点间的距离公式，得a=|BC|= 22cossin0cAbcA，1∴a2=c2cos2A-2bccos A+b2+c2sin2A，即 a2=b2+c2-2bccos A．同理可得 b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．(2)(用正弦定理证明) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，∴b2＋c2－2bccos A＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin Bsin Ccos A)＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sin Bsin Ccos(B＋C)]＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sin Bsin Ccos Bcos C)＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sin B sin Ccos Bcos C]＝4R2(sin2Bcos2C＋2sin Bsin Ccos Bcos C＋sin2Ccos2B)＝4R2sin2(B＋C)＝4R2sin2A＝a2．同理可证 b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b...