高中数学 第三章 三角函数 3.2 任意角的三角函数 3.2.2 同角三角函数之间的关系学案 湘教版必修2-湘教版高一必修2数学学案

3.2.2 同角三角函数之间的关系[学习目标] 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．[知识链接]1．任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？答 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角 α 的终边与单位圆交于 P(x，y)点，则有 sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.2．如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？答 设点 P(x，y)为 α 终边上任意一点，P 与 O 不重合．P 到原点的距离为 r＝>0，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.于是 sin2α＋cos2α＝2＋2＝＝1，＝＝＝tanα.即 sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.[预习导引]1．任意角三角函数的定义如图所示，以任意角 α 的顶点 O 为坐标原点，以角 α 的始边的方向作为 x 轴的正方向，建立直角坐标系．设 P(x，y)是任意角 α 终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝>0.则 sinα＝，cosα＝，tanα＝.2．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .(2)商数关系：tanα＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．3．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1 的变形公式：sin2α＝1 － cos 2 α ；cos2α＝1 － sin 2 α ；(2)tanα＝的变形公式：sinα＝cos α tan α ；cosα＝.要点一 利用同角三角函数的基本关系式求值例 1 已知 cosα＝－，求 sinα，tanα 的值．解 cosα＝－<0，∴α 是第二或第三象限的角，如果 α 是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果 α 是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.规律方法 已知角 α 的某一种三角函数值，求角 α 的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”．本题没有指出 α 是第几象限的角，则必须由 cos α 的值推断出 α 所在的象限，再分类求解．跟踪演练 1 已知 tanα＝，且 α 是第三象限角，求 sinα，cosα 的值．解 由 tanα＝＝，得 sinα＝cosα①又 sin2α＋cos2α＝1②由①②得 cos2α＋cos2α＝1，即 cos2α＝.又 α 是第三象限角，∴cosα＝－，sinα＝cosα＝－.要点二 三角函数代数式的化简例 2 化简下列各式：(1)；(2) ；(3) ＋，...