高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.2 两角和与差的正弦导学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

3.1.2 两角和与差的正弦课堂导学三点剖析1.两角和与差的正弦公式应用初步【例 1】求值.（1）sin;(2)sinπcosπ-sinsinπ.解：（1）sin=sin(-)=sincos-cossin=×-×=.(2)原式=sinπcosπ-cos(-)sinπ=sinπcosπ-cosπsinπ=sin(π-π)=sin=.温馨提示 解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.2.两角和与差的正弦公式的综合应用【例 2】已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=，求 sin2α 的值.思路分析：如果发现 2α=（α-β）+（α+β）的关系，便可迅速获得该题的解答；否则，若采用将 cos（α-β）和 sin（α+β）展开的做法，解答过程不仅要用不少三角函数公式，而且大大增加了运算量.解：由＜β＜α＜，得α-β∈（0，），α+β∈（π，）.∴sin（α-β）=.cos（α+β）==.故 sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）=×（）+×（）=-.温馨提示（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目地处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦.（2）要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系，尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.（3）许多问题都给出了角的范围，解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，从而恰当、准确地求出三角函数值.3.变形或逆用两角和与差的正弦公式【例 3】化简下列各三角函数式.（1）sinα-cosα;(2)sin(x+60°)+2sin(x-60°)-3cos(120°-x).思路分析：采取配系数的方法，构造和、差角的正弦公式，再利用和、差角的正弦公式化简.解析：（1）sinα-cosα=2(sinα-cosα)=2(sinαcos-cosαsin)=2sin(α-).(2) 解 法1 ： 原 式 =sinxcos60°+cosxsin60°+2sinxcos60°-2cosxsin60°-cos120°cosx-·sin120° sinx=（cos60°+2cos60°-sin120°）sinx+(sin60°-2sin60°-cos120°)cosx=(+2×-×)sinx+(-2×+×)cosx=0;解法 2：原式=sin(x+60°)+cos(x+60°)+2sin(x-60°)=2［sin(x+60°)+ cos(x+60°)］+2sin(x-60°)=2［cos60°·sin(x+60°)+sin60°·cos(x+60°)］+2sin(x-60°)=2sin［60°+(x+60°)］+2sin(x-60°)=2sin(x+120°)+2sin(x-60°)=-2sin(x-60°)+2sin(x-60°)=0.温馨提示（2）...