高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

3.1 两角和与差的三角函数典题精讲例 1 计算 sin33°cos27°+sin57°cos63°.思路解析：题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将 sin57°化为 cos33°,cos63°化为sin27°，再逆用两角和差的正、余弦公式，则迎刃而解.解：原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=.或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=. 绿色通道：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法. 变式训练 1(陕西高考，文 13) cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________.思路解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos120°=-.答案：- 例 2 已知 α,β∈(,),tanα,tanβ 是一元二次方程 x2+33x+4=0 的两根，求α+β.思路解析：由根与系数关系可得 tanα+tanβ，tanαtanβ，因此可先求 tan(α+β)，根据其正切值就可以求得其角度.解：由题意,知tanα+tanβ=,tanαtanβ=4,①∴tan(α+β)=.又 α,β∈(,) ， 且 由 ① 知 α∈(,0) ， β∈(,0)∴α+β∈(-π,0).∴α+β=. 黑色陷阱：本题易由 α,β∈(,),得 α+β∈(-π,π)，从而得出 α+β=或，而忽视了隐含条件 tanα<0,tanβ<0 对 α,β 范围的限制. 变式训练 2(湖北高考，理 3) 若△ABC 的内角 A 满足 sin2A=，则 sinA+cosA 等于( )A. B. C. D.思 路 解 析 ： 由 sin2A ＝ 2sinAcosA>0 ， 可 知 A 为 锐 角 ， 所 以 sinA+cosA>0 ， 又(sinA+cosA)2=1+sin2A=答案：A 例 3 已知 tanα=，tanβ=，0<α<β<,则 α+2β 等于( )A. B. C.或 D.思 路 解 析 ： 选 求 α+2β 的 某 一 三 角 函 数 值 ， 显 然 选 择 正 切 较 简 单 . 但 得 出tan(α+2β)=1，就判断选项为 B，则非明智之举.解： tan2β=，∴tan(α+2β)==1， tanα=<1，∴0<α<.tan2β=<1,∴0<2β<,∴0<α+2β<.∴α+2β=.答案：B 黑色陷阱：若本题只考虑 0<α<β<，则∴α+2β∈(0,)，误解为或，原因是忽视了 tanα,tanβ 的值对 α,β 取值范围的进一步限制. 变式训练 3(2006 福建高考，文 4) 已知 α∈(,π)，sinα=,则 tan(α+)等于( )A. B.7 C.- D.-7思路解析：由 α∈(,π),sinα=,则 tanα=,tan(α+)==.答案：A 例 4 (2006 浙江高考，理 6) 函数 y=sin2x+sinx,x∈R 的值域是（ ）A.［-,］ B.［,］C...