§2 含有绝对值的不等式2.1 绝对值不等式1．理解含有绝对值的不等式的性质．2．掌握绝对值不等式的定理及绝对值的几何意义．3．能利用绝对值不等式证明不等式及求最值等简单问题，并认识不等式证法的多样性、灵活性．1．实数的绝对值的概念(1)定义：|a|＝(2)|a|的几何意义：|a|表示数轴上实数 a 对应的点与原点之间的______．(3)两个重要性质：(Ⅰ)①|ab|＝______；②＝______；(Ⅱ)|a|＜|b|⇔a2____b2．(4)|x－a|的几何意义：数轴上实数 x 对应的点与实数 a 对应的点之间的______，或数轴上表示 x－a 的点到______的距离．(5)|x＋a|的几何意义：数轴上实数 x 对应的点与实数－a 对应的点之间的____，或数轴上表示 x＋a 的点到原点的____．【做一做 1】解不等式|x＋1|＞|2x－3|－2．2．绝对值不等式的定理(1)定理：对任意实数 a 和 b，有|a＋b|≤______，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．(2)定理的另一种形式：对任意实数 a 和 b，有|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立．(1)绝对值不等式的完整形式：①|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．(2)绝对值不等式的一般形式：|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|(n∈N＋)．【做一做 2】已知|x－a|＜，|y－b|＜，求证：|(x＋y)－(a＋b)|＜c．3．|a＋b|≤|a|＋|b|的几何意义(1)如图所示，当 a，b 同号时，它们位于原点的同一边，此时 a 与－b 的距离____它们到原点的距离____．(2)如图所示，当 a，b 异号时，它们分别位于原点的两边，a 与－b 的距离____a 与 b 到原点的距离____．【做一做 3】若不等式|x－4|－|x－3|≤a 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围是__________．答案：1．(1)a 0 －a (2)距离 (3)(Ⅰ)①|a||b| ② (Ⅱ)＜ (4)距离 原点 (5)距离 距离【做一做 1】分析：解含有绝对值的不等式，利用|a|＝将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．解：令 x＋1＝0，得 x＝－1．令 2x－3＝0，得 x＝，如图．(1)当 x≤－1 时，原不等式可化为－(x＋1)＞－(2x－3)－2，解得 x＞2，与条件矛盾，无解．(2)当－1＜x≤时，原不等式可化为 x＋1＞－(2x－3)－2，解得 x＞0，故 0＜x≤．(3)当 x＞时，原不等式可化为 x＋1＞2x－3－2，解得 x＜6，故＜x＜6．综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜6}．2．(1)|a|＋|b| (2)ab≤0【做一做 2】分析：利用不等式的...
