高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

3.2 二倍角的三角函数典题精讲例 1 求下列各式的值：(1)coscos；(2)(cos-sin)(cos+sin)；(3)-cos2；(4)cos215°.思路解析：灵活运用二倍角公式，如(1)题添加系数 2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后由逆用倍角公式；(3)中提取系数 2 后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数.解：(1)coscos=cossin=×2cossin=sin=；(2)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=；(3)-cos2=-(2cos2-1)=-cos=；(4)cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=. 绿色通道：根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，这当中一定要整体考虑式子的特征. 变式训练 1求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值.思 路 解 析 ： 由 sin30°=， 原 式 可 化 为sin10°sin50°sin70° ， 再 转 化 为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项 sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.解法 1：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=解法 2：令 M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°，因为M·N=（sin10°cos10°）(sin30°cos30°)(sin50°cos50°)(sin70°cos70°)=sin20°sin60°sin100°sin140°=cos10°cos30°cos50°cos70°=N所以 M=，即 sin10°sin30°sin50°sin70°=. 例 2 已知 sin(+α)sin(-α)=，且 α∈(，π)，求 sin4 的值.思路解析：发现+α 与-α 的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得 2α 的三角函数值，进一步可求4α 的正弦值.解：因为(+α)+(-α)=，所以 sin(-α)=cos(+α).因为 sin(+α)sin(-α)=，所以 2sin(+α)cos(+α)= ，即 sin(+2α)=.所以 cos2α=.又因为 α∈(，π)，所以 2α∈(π，2π).所以 sin2α=.所以 sin4α=2sin2αcos2α=. 绿色通道：通过角的形式的变化，生成所求的角或再加变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉. 变式训练 2设 5π＜θ＜6π，cos=a，则 sin的值等于( )A. B.C. D.思路解析：本题中的显然是的一半，可以直接应用公式，首先根据 θ 的范围确定要求的的范围，然后确定 sin的正负. 5π＜θ＜6π，∴＜＜3π,＜＜，∴sin= 答案：D 例 3 求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ.思路解析：观察所给式子中的角，显然应考虑将...