5．2 估计总体的数字特征知识点 平均数与方差、标准差 [填一填]1．平均数如果有 n 个数 x1，x2，…，xn，那么＝，叫作这 n 个数的平均数．2．样本的方差与标准差(1)数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的元素为 x1，x2，…，xn，样本的平均数为，定义 s2＝，s2表示样本方差．(2)为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根．s＝，s 表示样本的标准差．(3)计算样本数据 x1，x2，…，xn的标准差的算法步骤为：S1 算出样本数据的平均数.S2 算出 xi－，其中 i＝1,2，…，n；S3 算出 xi－的平方，其中 i＝1,2，…，n；S4 算出样本方差；S5 算出样本标准差．[答一答]平均数与标准差在估计总体时有何差异？提示：平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们对总体作出片面的判断，样本中的极端值对平均数的影响较大，所以平均数有时难以反映样本数据的实际状态．当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．(1)从数字特征上描述一组数据的情况平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、极差和标准差描述其波动大小，也可以说方差、标准差和极差反映各个数据与其平均数的离散程度．(2)方差和标准差的运用一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原单位相同．类型一 方差、标准差的计算 【例 1】 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习，每人投10 次，投中的次数如下表：学生1 号2 号3 号4 号5 号甲班67787乙班67679求以上两组数据的方差及标准差．【思路探究】 解答本题的关键是掌握方差、标准差的计算公式和求解步骤．【解】 甲＝＝7，乙＝＝7，s＝[(6－7)2＋3×(7－7)2＋(8－7)2]＝＝0.4，s＝[2×(6－7)2＋2×(7－7)2＋(9－7)2]＝＝1.2，所以它们的标准差分别为：，.规律方法 (1)方差的计算① 基本公式 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．② 简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－2]，或写成 s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于...
