高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案VIP专享

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质[教材研读]预习教材 P32～35，思考以下问题1．杨辉三角具有哪些特点？ 2．二项式系数的性质有哪些？ [要点梳理]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 C＝C ＋ C.2．二项式系数的性质[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )2．二项式展开式的二项式系数和为 C＋C＋…＋C.( )3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )[答案] 1.√ 2.× 3.×思考：杨辉三角的第 n 行数字规律与二项展开式有何联系？提示：杨辉三角的第 n 行数字规律是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn. 如图在“杨辉三角”中，斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前 n 项和为 Sn，求 S19的值．[解] 由图知，数列中的首项是 C，第 2 项是 C，第 3 项是 C，第 4 项是 C，…，第 17项是 C，第 18 项是 C，第 19 项是 C.∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝C＋C＋C＋…＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＋C＝C－1＋C＝274. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．【温馨提示】 杨辉三角的作用(1)直观地看出或探究二项式系数的性质；(2)当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．[跟踪训练]如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第 14 与第 15个数的比为 2∶3.[解析] 由杨辉三角知，第一行中的数是 C，C；第 2 行中的数是 C，C，C；第 3 行中的数是 C，C，C，C，…，第 n 行中的数是 C，C，C，…，C，设第 n 行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3，则 C∶C＝2∶3，解之得 n＝34.[答案] 34题型二 求展开式的系数和思考：(a＋b)n的展开式的二次项系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式：计算每一行的系数和，你能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为 2n. 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋...