高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

§2 导数的概念及其几何意义导数的概念在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)存在关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v，通过平均速度v来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．问题 1：怎么求运动员在 t0时刻的瞬时速度？提示：先求运动员在(t0，t0＋Δt)间平均速度v，当 Δt 趋于 0 时，平均速度就趋于运动员在 t0时刻的瞬时速度．问题 2：当 Δx 趋于 0 时，函数 f(x)在(x0，x0＋Δx)上的平均变化率即为函数 f(x)在x0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？提示：当 Δx 趋于 0 时，x0＋Δx 就无限接近于点 x0，这样(x0，x0＋Δx)上的平均变化率就可以看作点 x0处的瞬时变化率．问题 3：函数 f(x)在 x0点的瞬时变化率叫什么？提示：函数 f(x)在 x0点的导数．导数的定义函数 y＝f(x)在 x0点的瞬时变化率是函数 y＝f(x)在 x0点的导数．用符号 f ′( x 0)表示，记作：f′(x0)＝lim ＝lim .导数的几何意义在函数 y＝f(x)的图像上任取两点 A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))．问题 1：是函数 f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均变化率，有什么几何意义？提示：函数 y＝f(x)图像上 A，B 两点连线的斜率．问题 2：Δx 趋于 0 时，函数 y＝f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均变化率即为函数 y＝f(x)在 x1点的瞬时变化率，能否看成函数 y＝f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？提示：能．问题 3：函数 y＝f(x)在 x0处的导数的几何意义是什么？提示：函数 y＝f(x)图像上点(x0，f(x0))处的切线斜率．导数的几何意义函数 y＝f(x)在 x0处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．1．函数 y＝f(x)在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导数．2．导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率．导数的概念及应用[例 1] 建造一栋面积为 x 平方米的房屋需要成本 y 万元，y 是 x 的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求 f′(100)，并解释它的实际意义．[思路点拨] ―→―→[精解详析] 当 x 从 100 变为 100＋Δx 时，函数值 y 关于 x 的平均变化率为＝＝＋当 x 趋于 100 时，即 Δx 趋于 0 时，平均变化率趋于 0.105，即 f′(100)＝0.105，f′(100)＝0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时，成本增加的速度为 1 050 元/平方...