高中数学 第一章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质及应用（一）学案 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学学案

1.5.2 二项式系数的性质及应用(一)学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点 二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式：思考 1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 思考 2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 思考 3 二项式系数的最大值有何规律？ 梳理 (1)二项式系数表的特点① 在同一行中，每行两端都是________，与这两个 1 等距离的项的系数________．② 每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．(2)二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数 C，C，…，C 有如下性质：①C＝________；②C＋C＝________；③ 当 r＜时，C＜________；当 r＞时，________＜C；④C＋C＋C＋…＋C＝________.类型一 与二项式系数表有关的问题例 1 如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前 n 项和为 Sn，求 S16的值． 反思与感悟 对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论．跟踪训练 1 请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是________．类型二 求展开式的系数和例 2 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．(2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝.跟踪训练 2 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和． 1．在(2x＋)4的展开式中，各项的二项式系数的和为________．2．若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，则 n的值为________．3．观察图...