高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义学案（含解析）北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

§2 导数的概念及其几何意义学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一 导数的概念函数 y＝f(x)在 x0点的瞬时变化率是函数 y＝f(x)在 x0点的导数．用符号 f ′( x 0)表示，记作：f′(x0)＝＝lim.知识点二 导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线 PPn，当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线．(2)导数的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝lim＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′( x 0)( x － x 0) ． 特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．1．函数在某一点的导数与 Δx 值的正、负无关．( √ )2．函数 f(x)在 x＝x0处的导数值是 Δx＝0 时的平均变化率．( × )3．若函数 y＝f(x)在 x＝x0处有导数，则函数 y＝f(x)在 x＝x0处有唯一的一条切线．( √ )4．函数 y＝f(x)在 x＝x0处的切线与函数 y＝f(x)的公共点不一定是一个．( √ )10limxx1题型一 利用定义求导数例 1 建造一栋面积为 x 平方米的房屋需要成本 y 万元，y 是 x 的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求 f′(100)，并解释它的实际意义．解 当 x 从 100 变为 100＋Δx 时，函数值 y 关于 x 的平均变化率为＝，＝＋，∴f′(100)＝lim，＝lim＝0.105，f′(100)＝0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时，成本增加的速度为 1050 元/平方米，也就是说当建筑面积为 100 平方米时，每增加 1 平方米的建筑面积，成本就要增加 1050 元．反思感悟 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数的步骤(1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求平均变化率＝.(3)取极限，得导数 f′(x0)＝lim.跟踪训练 1 利用导数的定义求函数 f(x)＝－x2＋3x 在 x＝2 处的导数．考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数解 由导数的定义知，函数在 x＝2 处的导数f′(2)＝lim，而 f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是 f′(2)＝lim＝lim (－Δx－1)＝－1.题型二 求切线方程例 2 已知曲线 y...