§3 计算导数对于函数 y＝－x2＋2x.问题 1：如何求 f′(1)?提示：f′(1)＝lim .问题 2：如何求 f′(x)?提示：f′(x)＝lim .问题 3：f′(x)与 f′(1)有什么关系？提示：f′(1)可以认为把 x＝1 代入导函数 f′(x)得到的值．1．导函数若一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f′(x)：f′(x)＝lim 则 f′(x)是关于 x 的函数，称 f ′( x ) 为 f(x)的导函数，简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y＝c (c 是常数)y′＝0y＝sin xy′＝cos_xy＝xα(α 为实数)y′＝αx α － 1 y＝cos xy′＝－ sin _xy＝ax (a>0，a≠1)y′＝a x ln _a，特别地(ex)′＝e x y＝tan xy′＝y＝loga x (a>0，a≠1)y′＝，特别地(ln x)′＝y＝cot xy′＝－1．导数公式表中(ax)′＝axln a 与(logax)′＝较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的差异去记忆．2．f′(x)与 f′(x0)既有区别，又有联系，f′(x)是导函数，f′(x0)是当 x＝x0时导函数 f′(x)的一个函数值，是一个确定的值．利用导函数的定义求导数[例 1] 一运动物体的位移 s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数关系式为 s(t)＝t2＋t.求 s′(0)，s′(2)，s′(5)，并说明它们的意义．[思路点拨] 先求出 s(t)的导函数，然后分别把 t＝0,2,5 代入即可．[精解详析] 由题意 Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)2＋(t＋Δt)－(t2＋t)＝(Δt)2＋2t·Δt＋Δt.∴＝＝Δt＋2t＋1.当 Δt 趋于 0 时，可以得出导函数为s′(t)＝lim ＝lim (Δt＋2t＋1)＝2t＋1.因此，s′(0)＝2×0＋1＝1，它表示物体的初速度为 1 m/s； s′(2)＝2×2＋1＝5，它表示物体在第 2 s 时的瞬时速度为 5 m/s；s′(5)＝2×5＋1＝11，它表示物体在第 5 s 时的瞬时速度为 11 m/s.[一点通] 利用定义求函数 y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数 y＝f(x)在其对应区间上每一点都有导数；(2)计算 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当 Δx 趋于 0 时，得到导函数f′(x)＝lim .1．已知函数 f(x)＝x2＋x，则 f′(x)＝( )A．1 B．2C．2x D．2x＋1解析：f′(x)＝lim ＝lim ＝lim (2x＋Δx＋1)＝2x＋1.答案：D2．求函数 f(x)＝2x2＋4x 的导数，并利用导函数 f′(x)求 f′(3)的值．解：f′(x)＝lim ＝lim ＝lim (4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，f′(3)＝4×3＋4＝16.利用导数公式求导数[例 2]...
