高中数学 第三章 变化率与导数 3.2 导数的概念及其几何意义导学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

3.2 导数的概念及其几何意义学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.知识点一 导数的概念思考 1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？答案 平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x0点处变化的快慢；当 Δx 趋于 0 时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在 x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.梳理 定义式10limxx ＝lim 记法f ′( x 0)实质函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数就是 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率知识点二 导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1，2，3，4，…)，P 的坐标为(x0，y0)，直线 PT 为过点 P 的切线.思考 1 割线 PPn的斜率 kn是多少？答案 割线 PPn的斜率 kn＝.思考 2 当点 Pn无限趋近于点 P 时，割线 PPn的斜率 kn与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？答案 kn无限趋近于切线 PT 的斜率 k.梳理 (1)切线的定义：当 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点 P 处 的切线.(2)导数 f′(x0)的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0处的导数就是切线的斜率 k，即 k＝lim ＝f′(x0).(3)切线方程：曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′( x 0)( x － x 0).类型一 利用定义求导数例 1 求函数 f(x)＝3x2－2x 在 x＝1 处的导数.解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)1＝3(Δx)2＋4Δx，∴＝＝3Δx＋4，∴f′(1)＝lim ＝lim (3Δx＋4)＝4.反思与感悟 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得导数 f′(x0)＝lim .跟踪训练 1 利用导数的定义求函数 f(x)＝－x2＋3x 在 x＝2 处的导数.解 由导数的定义知，函数在 x＝2 处的导数f′(2)＝lim ，而 f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是 f′(2)＝lim ＝lim (－Δx－1)＝－1.类型二 求切线方程命题角度 1 求在某点处的切线方程例 2 已知曲线 y＝2x2上一点 A(1，2)，求：(1)点 A 处的切线的斜率；(2)点 A 处的切线方程.解 (1)k＝lim ＝lim ＝lim ＝lim (4＋2Δx)＝4，∴点 A 处的切线的斜率为 4....