高中数学 第三章 变化率与导数 3.3 计算导数导学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案VIP专享

3.3 计算导数学习目标 1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数.知识点一 导函数思考 对于函数 f(x)，如何求 f′(1)、f′(x)？f′(x)与 f′(1)有何关系？答案 f′(1)＝lim .f′(x)＝lim .f′(1)可以认为把 x＝1 代入导数 f′(x)得到的值.梳理 如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f ′( x ) ，f′(x)＝lim ，则 f′(x)是关于 x 的函数 ，称 f′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数.区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在 x＝x0处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x)在 x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是 f(x)在某区间 I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数知识点二 导数公式表函数导函数y＝c(c 是常数)y′＝0y＝xα (α 为实数)y′＝αx α － 1 y＝ax (a>0，a≠1)y′＝a x ln a y＝exy′＝e x y＝logax(a>0，a≠1)y′＝y＝ln xy′＝y＝sin xy′＝cos x y＝cos xy′＝－ sin x y＝tan xy′＝y＝cot xy′＝－类型一 利用导函数求某点处的导数例 1 求函数 f(x)＝－x2＋3x 的导函数 f′(x)，并利用 f′(x)求 f′(3)，f′(－1).解 f′(x)＝lim ＝lim ＝lim (－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，即 f′(x)＝－2x＋3，∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.1反思与感悟 f′(x0)是 f′(x)在 x＝x0处的函数值.计算 f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求 f′(x)，然后求 f′(x)在 x＝x0处的函数值 f′(x0).跟踪训练 1 求函数 y＝f(x)＝＋5 的导函数 f′(x)，并利用 f′(x)，求 f′(2).解 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝＋5－＝，∴＝，∴f′(x)＝lim ＝lim ＝－.∴f′(2)＝－.类型二 导数公式表的应用例 2 求下列函数的导数.(1)y＝sin ；(2)y＝x；(3)y＝log3x；(4)y＝；(5)y＝5x.解 (1)y′＝0.(2)因为32,yx xx所以312233().22yxxx＝＝(3)y′＝(log3x)′＝.(4)因为 y＝＝＝tan x，所以 y′＝(tan x)′＝.(5)y′＝(5x)′＝5xln 5.反思与感悟 对于教材中出现的 8 个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如 sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos 这样的错误结果.二是准确记忆，灵活变形.如根式、分式可先...