高中数学 第三章 变化率与导数 4 导数的四则运算法则学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案VIP专享

§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则已知函数 f(x)＝，g(x)＝x，那么 f′(x)＝－，g′(x)＝1.问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？提示：用定义，由 h(x)＝＋x，得 h(x＋Δx)－h(x)＝＋x＋Δx－－x＝Δx－.则 f′(x)＝lim ＝lim ＝1－.问题 2：[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)成立吗？提示：成立．问题 3：[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)成立吗？提示：成立．问题 4：运用上面的结论你能求出(3x2＋tan x－ex)′吗？提示：可以，(3x2＋tan x－ex)′＝6x＋－ex.导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和 ( 差 ) ，即[f(x)＋g(x)]′＝f ′( x ) ＋ g ′( x ) ，[f(x)－g(x)]′＝f ′( x ) － g ′( x ) ． 导数的乘法与除法法则已知函数 f(x)＝x3，g(x)＝x2，则 f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x.问题 1：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？提示：因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，f′(x)g′(x)＝3x2·2x＝6x3，所以上式不成立．问题 2：[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)成立吗？提示：成立．问题 3：′＝成立吗？提示：不成立．问题 4：′＝成立吗？提示：成立．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f′(x)和 g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ′＝.(2)[kf(x)]′＝kf ′( x ) ． 1．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)≠f′(x)g′(x)，避免与[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)混淆．2．若 c 为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)．3．类比[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)记忆′＝.导数公式及运算法则的应用[例 1] 求下列函数的导数：(1)f(x)＝xln x；(2)y＝；(3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sincos.[思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．[精解详析] (1)f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1.(2)法一：y′＝()′＝＝.法二：y＝＝1－，∴y′＝(1－)′＝(－)′＝－＝.(3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋.(4)y＝x－sincos＝x－sin x，∴y′＝(x－sin x)′＝1－cos x.[一点通] 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．用导数的运算法则推导：(1)...