高中数学 第三章 变化率与导数 4 导数的四则运算法则学案（含解析）北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

§4 导数的四则运算法则学习目标 1.了解导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导过程.2.会运用导数公式和导数的加法、减法、乘法、除法法则求一些函数的导数．知识点一 导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和 ( 差 ) ，即[f(x)＋g(x)]′＝f ′( x ) ＋ g ′ ( x ) ，[f(x)－g(x)]′＝f ′( x ) － g ′( x ) ． 特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．知识点二 导数的乘法与除法法则1．若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f′(x)和 g′(x)，则(1)[f(x)g(x)]′＝f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ． (2)′＝.2．[kf(x)]′＝kf ′( x ) ．1．若 f(x)＝a2＋2ax＋x2，则 f′(a)＝2a＋2x.( × )2．运用法则求导时，不用考虑 f′(x)，g′(x)是否存在．( × )3．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)．( × )题型一 利用导数四则运算法则求导例 1 求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；(4)y＝xsinx－.考点 导数的运算法则题点 导数乘除法则的混合运用解 (1) y＝－＋x－1＋，322x123x32x1∴y′＝＋－x－2－.(2)方法一 y′＝＝＝.方法二 y＝＝＝1－，y′＝′＝′＝＝.(3)方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.方法二 y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.(4)y′＝(xsinx)′－′＝x′sinx＋x(sinx)′－＝sinx＋xcosx－.反思感悟 1.解答利用导数四则运算法则求导问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．3．利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练 1 求下列函数的导数：(1)f(x)＝xlnx；(2)y＝；(3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sincos.解 (1)f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.(2)方法一 y′＝′＝＝.方法二 y＝＝1－，∴y′...