专题突破五 利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数 f′(x0)的几何意义为曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．一、已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数 f′(x)，并代入点斜式方程即可．例 1 已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．考点 题点 答案 2x－y＝0解析 设 x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.点评 本题可以先利用分段型奇偶性原则，求出函数的解析式，再求函数切线，或者利用原函数与导函数的关系来求解．跟踪训练 1 曲线 y＝在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1考点 题点 答案 D解析 由题意知，点(1，－1)在该曲线上，又 y′＝＝，所以曲线在点(1，－1)处的切线的斜率 k＝＝－2，故所求切线的方程为 y＋1＝－2(x－1)，即 y＝－2x＋1.二、已知过某点，求切线方程过某点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例 2 求过曲线 f(x)＝x3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．考点 题点 解 设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f′(x0)＝3x－2.所以切线方程为 y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即 y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．1解得 x0＝1 或 x0＝－.故所求切线方程为 y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，或 y－＝，即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.点评 可以发现直线 5x＋4y－1＝0 并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．跟踪训练 2 求过点(2,0)且与曲线 f(x)＝相切的直线方程．考点 题点 解 设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f′(x0)＝－.所以切线方程为 y－y0＝－(x－x0)，即 y－＝－(x－x0)．又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，得－＝－(2－x0)．解得 x0＝1，y0＝＝1，即切线方程为 x＋y－2＝0.三、求两条曲线的公切线例 3 (2018·河南南阳一中月考)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y＝x3 和 y＝ax2＋x－9(a≠0)都相切．(1)求切线方程；(2)求实数 a 的值．考点 题点 ...
