第三章 变化率与导数 1 利用导数的几何意义解题1．求参数例 1 设曲线 y＝f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a＝________.解析 根据导数的定义，＝＝＝2a＋aΔx，当 Δx 无限趋近于 0 时，2a＋aΔx 无限趋近于 2a，即 f′(1)＝2a.又由曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，得 2a＝2，即 a＝1.答案 12．求倾斜角例 2 求曲线 y＝f(x)＝x3－x2＋5 在 x＝1 处的切线的倾斜角．分析 要求切线的倾斜角 α，先要求切线的斜率 k，再根据斜率 k＝tan α，求出倾斜角 α.解 设曲线 y＝f(x)＝x3－x2＋5 在 x＝1 处的切线的倾斜角为 α.＝＝＝(Δx)2－1，当 Δx 无限趋近于 0 时，(Δx)2－1 无限趋近于－1，即 tan α＝f′(1)＝－1.因为 α∈[0，π)，所以 α＝.故切线的倾斜角为.评注 切线的倾斜角 α 能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角 α 的取值范围．3．求曲线的切线例 3 求在点 P 处与曲线 y＝x3相切的切线方程．分析 要求直线在点 P 处的切线方程，需求得过点 P 的切线的斜率 k，然后根据点斜式可求得切线方程．解 因为点 P 在曲线 y＝x3上，Δy＝(2＋Δx)3－×23＝4Δx＋2(Δx)2＋(Δx)3，所以＝4＋2Δx＋(Δx)2，当 Δx 无限趋近于 0 时，无限趋近于 4，即 k＝4.故所求的切线方程为 y－＝4(x－2)，即 12x－3y－16＝0.评注 求在点 P 处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程．4．求切点的坐标例 4 若曲线 y＝f(x)＝x3＋1 在点 P 处的切线的斜率为 3，求点 P 的坐标．分析 要求点 P 的坐标，可设点 P 的坐标为(x0，x＋1)，然后由切线的斜率为 3，解方程求得．解 设点 P 的坐标为(x0，x＋1)，因为＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，当 Δx 无限趋近于 0 时，上式无限趋近于 3x，所以 3x＝3.解得x0＝±1.故点 P 的坐标是(1,2)或(－1,0)．评注 值得注意的是切点 P 的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.12 利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数 f′(x0)的几何意义为曲线 y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．1．已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数 f′(x)，并代入点斜式方程即可．例 1 曲...
