高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式导学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案VIP专享

3.3 几个三角恒等式课堂导学三点剖析1.三角函数恒等式应用举例【例 1】 运用三角函数变换证明 tan=.思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将 tan变成角 α 的三角函数.证明：tan==.tan==∴tan=成立.温馨提示 这组公式的结构特征是用 cosα 与 sinα 表示的正切值，可称为半角公式.2．三角函数变换的应用【例 2】 将下列各式化简为 Asin(ωx+φ)的形式：（1）cosx-sinx；(2)3sinx+cosx；(3)3sinx-4cosx；(4)asinx+bcosx(ab≠0).思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形.解：（1）cosx-sinx=-(sinx-cosx)=(sinx-cosx)=(sinxcos-cosxsin)=sin(x-).本题化简结果不唯一，也可这样变换：cosx-sinx=(cosx-sinx)=(sinxcos+cosxsin)=sin(x+).（2）3sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+).(3)3sinx-4cosx=5(sinxcosx)令 cosφ=，φ 为第一象限角，则 sinφ=.∴3sinx-4cosx=5(sinxcosφ-cosxsinφ)=5sin(x-φ).（4）asinx+bcosx=(sinx+cosx)=(sinxcosφ+cosxsinφ)=sin(x+φ).其中 cosφ=,sinφ=.温馨提示 形如 asinx+bcosx 的式子均可化成·sin(x+φ)的形式，这种变换的主要功能是把 asinx+bcosx 形的三角函数式表示成一个角的一个三角函数，这样做有利于研究f(x)=asinx+bcosx 的图象和性质，或化简、求最值问题.3.在解题过程中怎样选择合适的公式【例 3】已知函数 f(x)=2asinxcosx+2bcos2x,且 f(0)=8，f()=6+.求 a,b 的值及 f(x)的周期和最大值.解： f(0)=2asin0cos0+2bcos20=2b=8,∴b=4.又 f()=2asincos+2bcos2=a+b=a+6=6+.∴a=3.∴f(x)=3sin2x+4cos2x+4=5(sin2x+φ)+4(其中 cosφ=,sinφ=),∴f(x)的周期是 T==π.当 sin（2x+φ）=1 时，f(x)最大值=9.温馨提示 当 f(x)的解析式中有待定常数 a，b 时，可根据条件列关于 a，b 的两个条件等式，再通过解方程组求出 a，b;求 f(x)的周期和最值，通常需把 f(x)化成 Asin（ωx+φ）+k 的形式.本例中（2）问是根据方程根的意义得到两个三角等式，再通过三角变换变出所需要的式子.各个击破类题演练 1已知 cosθ=，且 θ∈（0，），求 tan.解： θ∈（0，），∴θ[]2∈(0,)，∴tan＞0，∴tan=变式提升 1求证：（1）sinαcosβ=［sin（α+β）+sin(α-β)］;(2)sinθ+sinφ=2sincos.证明：（1）因为 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.将以上两式的左右两边分别相...