高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

3.3 几个三角恒等式典题精讲 例 1 (江苏高考卷，14) cot20°cos10°+sin10°tan70°-2cos40°=__________思路分析：本题方法不拘泥,要注意灵活运用公式.解：cot20°cos10°+sin10°tan70°-2cos40°=-2cos40°=-2cos40°=-2cos40°=-2cos40°==2. 绿色通道：在求解三角函数的问题中,要注意这样的规律,即要“三看”： (1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 变式训练 1(福建高考卷，理 1) tan15°+cot15°等于( )A.2 B.C.4 D.思路解析：原式==4.答案：C变式训练 2计算：coscoscos.思路分析:通过观察、分析已知式子中各角的特点，可先将 cos转化为 sin，然后再利用二倍角的正弦公式进行求解.将非特殊角转化为特殊角是求值常用的方法.解：原式=cossin=sin=. 例 2 若 sinα=,sinβ=,且 α,β 是锐角，求 α+β 的值.思路分析：可先求出 α+β 的某种三角函数值.但应当注意对 α+β 的角的范围进行讨论.解： α,β 是锐角，∴cosα=cosβ=.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.又 sinα=＜,sinβ=＜，∴0°＜α＜30°,0°＜β＜30°.∴0°＜α+β＜60°.∴α+β=45°. 黑色陷阱：此题在解出 sin(α+β)=时，易误认为 α+β=45°或 α+β=135°.忽视了 sinα,sinβ 的取值对 α,β 范围的进一步限制. 变式训练 已知 cos(α+)=,≤α＜，求 cos(2α+)的值.思路分析:先将 cos(2α+)变形为用已知角或有关的角来表示.本题若不注意 cos(α+)=对 α+的限制，在求 sin(α+)时将会出现两种情况.解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α). ≤α<，∴≤α+<.又 cos(α+)>0，∴<α+<.∴sin(α+)==-.∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=.sin2α=-cos(+2α)=1-2cos2(α+)=.∴原式=×(-)=.例 3 (2006 陕西高考卷，理 17) 已知函数 f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合.思 路 分 析 ： 对 于 形 如 asinα+bcosα(a,b 不 同 时 为 0) 的 式 子 可 先 引 入 辅 助 角 变 为Asin(α+φ)的形式，再进行三角函数的化简,求周期和最值等.解:(1) f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)=2[s...