第 2 课时 利用导数研究函数的最值 1.了解函数的最值与极值的区别和联系． 2.理解函数最值的概念．3．掌握在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值的求法． [学生用书 P61]1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，若函数在(a，b)是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点处取得．2．求可导函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求 f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．(2)计算函数 f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定是函数的最大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数 f(x)＝在区间[－1，0)∪(0，1]上有最值．( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )A．无最值 B．有极值C．有最大值 D．有最小值答案：A3．函数 f(x)＝3x－4x3(x∈[0，1])的最大值是( )A．1 B.C．0 D．－1答案：A4．函数 y＝sin x－x 在区间[0，2π]上的最小值为________．答案：－2π 求函数的最值[学生用书 P61] 求下列函数的最值：(1)f(x)＝sin x－x(－≤x≤)；(2)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)． 【解】 (1)f′(x)＝cos x－1，令 f′(x)＝0，得 x＝0，所以 f(0)＝0－0＝0，f(－)＝－1＋，f()＝1－，所以 f(x)max＝－1，f(x)min＝1－.(2)f′(x)＝12x2＋6x－36，令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x－2(－2，)(，＋∞)f′(x)0－0＋f(x)57－由于当 x>时，f′(x)>0，所以 f(x)在(，＋∞)上为增函数，因此，函数 f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数的导数 f′(x)；(2)求方程 f′(x)＝0 的全部实根 x0，且 x0∈[a，b]；(3)求最值，有两种方式：① 判断各分区间上的单调性，然后求出最值；② 将 f(x0)的值与 f(a)，f(b)比较，确定 f(x)的最大值与最小值． 已知函数 f(x)＝2x3＋3x2－12x＋3.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在[－3，3]上的最值．解：(1)f′(x)＝6(x＋2)(x－1)，由 f′(x)>0，得 x<－2 或 x>1，由 f′(x)<0 得－2
