3.4 基本不等式（1）学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆 O 的直径，点 Q 是 AB 上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点 Q 作 PQ 垂直 AB 于 Q，连接 AP，PB.如何用 a，b 表示 PO，PQ 的长度？答案 |PO|＝＝.易证 Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么|PQ|2＝|AQ|·|QB|，即|PQ|＝.梳理 一般地，对于正数 a，b，为 a，b 的算术平均数，为 a，b 的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即≤.其几何意义如上图中的|PO|≥|PQ|.知识点二 基本不等式及其常见推论思考 如何证明不等式≤(a>0，b>0)?答案 a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当 a＝b 时，等号成立，∴a＋b≥2，∴≤，当且仅当 a＝b 时，等号成立．梳理 ≤(a>0，b>0)．当对正数 a，b 赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤()2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b 同号)；(3)当 ab>0 时，＋≥2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．类型一 常见推论的证明例 1 证明不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．证明 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.引申探究证明不等式()2≤(a，b∈R)．证明 由例 1，得 a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以 4，即得()2≤，当且仅当 a＝b 时，取等号．反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是 a，b∈R，与基本不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练 1 已知 a，b，c 为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.证明 a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，1即 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．类型二 用基本不等式证明不等式例 2 已知 x、y 都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明 (1) x，y 都是正数，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，即＋≥2，当且仅当 x＝y 时，等号成立．(2) x，y 都是正数，∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当 x＝y 时，等号成立．反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐...
