3.4 基本不等式（2）学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一 基本不等式及变形思考 使用基本不等式证明：≤(a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立．答案 a>0，b>0，∴＋≥2>0，∴≤，即≤(a>0，b>0)，当且仅当＝，即 a＝b 时，等号成立．梳理 以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．当 a>0，b>0 时，有≤≤≤ ；当且仅当 a ＝ b 时，以上三个等号同时成立．知识点二 用基本不等式求最值思考 因为 x2＋1≥2x，当且仅当 x＝1 时取等号．所以当 x＝1 时，(x2＋1)min＝2.以上说法对吗？为什么？答案 错．显然(x2＋1)min＝1.x2＋1≥2x，当且仅当 x＝1 时取等号．仅说明抛物线 y＝x2＋1 恒在直线 y＝2x 上方，仅在 x＝1时有公共点．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．梳理 基本不等式求最值的条件：(1)x，y 必须是正数；(2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．类型一 基本不等式与最值例 1 (1)若 x>0，求函数 y＝x＋的最小值，并求此时 x 的值；(2)设 02，求 x＋的最小值；(4)已知 x>0，y>0，且 ＋＝1，求 x＋y 的最小值．解 (1)当 x>0 时，x＋≥2 ＝4，当且仅当 x＝，即 x2＝4，x＝2 时取等号．∴函数 y＝x＋(x>0)在 x＝2 时取得最小值 4.(2) 00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝时，等号成立． ∈.1∴函数 y＝4x(3－2x)(02，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6，当且仅当 x－2＝，即 x＝4 时，等号成立．∴x＋的最小值为 6.(4)方法一 x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，当且仅当＝，又＋＝1，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号．故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.方法二 由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．由＋＝1 可知 x>1，y>9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时上式取等号，故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻...
