高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数学案（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

§3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数学习目标 1.了解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系思考 1 f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，那么 f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？答案 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.思考 2 y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与 y＝f′(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？答案 在区间(a，b)上，f′(x)>0，则 f(x)在(a，b)上为增函数；在区间(a，b)上，f′(x)<0，则 f(x)在(a，b)上为减函数．梳理 (1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使 f′(x)＝0，在其余的点恒有 f′(x)>0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0.知识点二 函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则函数 f(x)在定义域上单调递增．( × )2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( × )3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( √ )类型一 原函数和导函数图象之间的关系例 1 已知函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f′(x)的图象可能是图中的( )考点 函数变化的快慢与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象答案 C解析 由函数 y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数 y＝f′(x)的正、负情况如下表：x(－1，b)(b，a)(a,1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表分析函数 y＝f′(x)的图象：当 x∈(－1，b)时，函数图象在 x 轴下方；当 x∈(b，a)时，函数图象在 x 轴上方；当 x∈(a,1)时，函数图象在 x 轴下方．故选 C.反思与感悟 对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在...