3．4 基本不等式：≤[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一 两个不等式 [填一填]1．重要不等式：对于任意实数 a，b，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．2．基本不等式：如果 a，b∈R＋，那么≤，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．其中为 a，b的算术平均数，为 a，b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式 a2＋b2≥2ab 和基本不等式≤成立的条件有什么不同？提示：不等式 a2＋b2≥2ab 对任意实数 a，b 都成立；≤中要求 a，b 都是正实数．知识点二 基本不等式与最值 [填一填]已知 x，y 都是正数，(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值． (2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如 sinx 与，x∈(0，)，两个都是正数，乘积为定值．但是由 01＋＝5，等号不成立，取不到最小值．类型一 利用基本不等式证明不等式[例 1] (1)已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.(2)已知 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1，求证：≥8.[分析] (1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又－1＝＝≥，可由此变形入手．[证明] (1) a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c...
