3.4 基本不等式教学建议1.本节课是学生对不等式认知的一次飞跃,要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明,从而进一步突破难点.通过变式练习可加深学生对定理的理解,并为以后对实际问题的研究奠定基础.定理的证明要注重严密性,老师要帮助学生分析每一步的理论依据,培养学生良好的数学品质.2.本节课是基本不等式应用举例的延伸.整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.例题的安排从易到难、从简单到复杂,适应学生的认知水平.教师要根据课堂情况及时提出针对性问题,同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞,纠正数学表达中的错误.3.培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生数形结合的想象力,进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性.4.强化运用基本不等式求最大(小)值的条件,即“一正,二定,三相等”.教学参考运用基本不等式的配凑技巧下面介绍运用二元基本不等式的一些巧妙的配凑技巧,旨在为同学们应用基本不等式解题提供有效的解题方法.1.从定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值,在不等式的变形中,配凑出这些定值,可使问题巧妙获解.常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算或技巧.设 x,y∈(0,+∞),x2+=1,求 x的最大值.解:∵x,y∈(0,+∞),x2+=1 是常数,∴x2与的积可能有最大值.∴x,当且仅当 x=,y=时,x取得最大值,最大值为.2.从等号成立的条件入手配凑基本不等式(a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立)在题中条件的约束下,各变元将取某个特定值,这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑.设 a,b,c>0,a+b+c=1,求证:≤3.证明:不等式在 a=b=c=时,等号成立,此时.由此可考虑配凑常数,以便利用基本不等式.∵,同理,,以上三式相加,并利用 a+b+c=1,得)≤6,∴≤3.用基本不等式证明不等式问题时,要注意为达到目标可先宏观,而后用微观的方法步骤;基本不等式在运用时,常需先凑形后运用;基本不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.
