3.4 基本不等式：≤基本不等式[提出问题]问题 1：若 a，b∈R，则代数式 a2＋b2与 2ab 有何大小关系？提示： (a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.问题 2：上述结论中，等号何时成立？提示：当且仅当 a＝b 时成立．问题 3：若以，分别代替问题 1 中的 a，b，可得出什么结论？提示：a＋b≥2.问题 4：问题 3 的结论中，等何时成立？提示：当且仅当 a＝b 时成立．[导入新知]1．重要不等式当 a，b 是任意实数时，有 a2＋b2≥2 ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．2．基本不等式(1)有关概念：当 a，b 均为正数时，把叫做正数 a，b 的算术平均数，把叫做正数 a，b的几何平均数．(2)不等式：当 a，b 是任意正实数时，a，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．(3)变形：ab≤2，a＋b≥2(其中 a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．[化解疑难]1．基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，则≠，即只能有＜.2．从数列的角度看，a，b 的算术平均数是 a，b 的等差中项，几何平均数是 a，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与 b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．利用基本不等式证明不等式[例 1] 已知 a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.证明：由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而收到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[活学活用]设 a>0，b>0，证明：＋≥a＋b.证明： a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴＋≥a＋b.利用基本不等式求最值[例 2] (1)已知 m，n＞0，且 m＋n＝16，求 mn 的最大值；(2)已知 x＞3，求 f(x)＝x＋的最小值；(3)设 x＞0，y＞0，且 2x＋y＝1，求＋的最小值．[解] (1) m，n＞0 且 m＋n＝16，∴由基本不等式可得 mn≤2＝2＝64，当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取得最大值 64.(2) x＞3，∴x－3＞0，＞0，于是 f(x)＝x＋＝x－3＋＋3≥2 ＋3＝7，当且仅当 x－3＝即 x＝5 时，f(x)取得最小值 7.(3)法一...
