高中数学 第二单元 平面向量 2.1.3 向量的减法学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

2.1.3 向量的减法学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一 向量的减法思考 1 向量减法的几何意义是什么？ 思考 2 向量减法的三角形法则是什么？ 梳理 (1)已知向量 a，b(如图)，作OA＝a，作OB＝b，则 b＋BA＝a，向量BA叫做向量 a 与 b的______，并记作 a－b，即BA＝a－b＝OA－OB.(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为 ______，被减向量的终点为______的向量.(3)一个向量BA等于它的终点相对于点 O 的位置向量OA减去它的始点相对于点 O 的位置向量OB，或简记“终点向量______始点向量”.知识点二 相反向量思考 实数 a 的相反数为－a，向量 a 与－a 的关系应叫做什么？ 梳理 (1)与向量 a 方向相反且等长的向量叫做 a 的______向量，记作－a(如图).显然 a＋(－a)＝0.(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的______向量.知识点三 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？ 梳理 当向量 a，b 不共线时，作OA＝a，AB＝b，则 a＋b＝OB，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.当 a 与 b 共线且同向或 a，b 中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当 a 与 b 共线且反向或 a，b 中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.故对于任意向量 a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①因为|a－b|＝|a＋(－b)|，所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.类型一 向量减法的几何作图例 1 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 a＋b－c. 引申探究若本例条件不变，则 a－b－c 如何作？反思与感悟 在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.跟踪训练 1 如图所示，已知向量 a，b，c，d，求作向量 a－b，c－d. 类型二 向量减法法则的应用例 2 化简下列式子：(1)NQ－PQ－NM－MP...