高中数学 第二单元 平面向量 2.1.4 数乘向量学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

2.1.4 数乘向量学习目标 1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会运用数乘向量运算律进行向量运算.知识点一 数乘向量的定义思考 1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？ 思考 2 向量 3a，－3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 梳理 (1)定义：实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa，且 λa 的长|λa|＝|λ||a|.λa(a≠0)的方向当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝0 或 λ0＝0.(2)λa 中的实数 λ，叫做向量 a 的________.数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小.知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 梳理 向量数乘运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三 向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的____________.类型一 数乘向量概念的理解例 1 已知 a，b 是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由：(1)2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2 倍；(2)－2a 的方向与 5a 的方向相反，且－2a 的模是 5a 的模的；(3)－2a 与 2a 是一对相反向量；(4)a－b 与－(b－a)是一对相反向量；(5)若 a，b 不共线，则 λa 与 b 不共线. 反思与感悟 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，当 λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；当 λ<0 时，λa 与 a 反向，模是|a|的－λ 倍；当 λ＝0 时，λa＝0.跟踪训练 1 设 a 是非零向量，λ 是非零实数，则下列结论正确的是( )A.a 与－λa 的方向相反 B.|－λa|≥|a|C.a 与 λ2a 的方向相同 D.|－λa|＝|λ|a类型二 向量的线性运算例 2 (1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]. (2)已知向量为 a，b，未知向量为 x，y，向量 a，b，x，y 满足关系式 3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量 x，y. 反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练 2 (1)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. (2)若 2－(c＋b...