高中数学 第二单元 平面向量 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一 平面向量的正交分解思考 如果向量 a 与 b 的基线互相垂直，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 梳理 如果基底的两个基向量 e1，e2互相垂直，则称这个基底为________.在正交基底下分解向量叫做________.知识点二 平面向量的坐标表示思考 1 如图，向量 i，j 是两个互相垂直的单位向量，向量 a 与 i 的夹角是 30°，且|a|＝4，以向量 i，j 为基底，如何表示向量 a? 思考 2 在平面直角坐标系内，给定点 A 的坐标为 A(1,1)，则 A 点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为 a＝(1,1)，则向量 a 的位置确定了吗？ 梳理 (1)基底：在直角坐标系 xOy 内，分别取与 x 轴和 y 轴方向________的两个____________e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个____________{e1，e2}.这个基底也叫做直角坐标系 xOy 的基底.(2)坐标分量：在坐标平面 xOy 内，任作一向量 a(用有向线段AB表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得 a＝________________，(a1，a2)就是向量 a在基底{e1，e2}下的坐标，即 a＝________，其中 a1 叫做向量 a 在________上的坐标分量，a2叫做 a 在________上的坐标分量.(3)若OA＝xe1＋ye2＝(x，y)，则OA的坐标(x，y)⇔点 A 的坐标(x，y).知识点三 平面向量的坐标运算思考 设 i、j 是分别与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量 a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底 i、j 表示？ 梳 理 (1) 若 a ＝ (a1 ， a2) ， b ＝ (b1 ， b2) ， 则 a ＋ b ＝ ______________ ， a － b ＝__________________，λa＝λ(a1，a2)＝____________.即两个向量的和与差的坐标等于两个向量____________；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量____________.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝____________.即一个向量的坐标等于向量终点的坐标____________.(3)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2).则线段 AB 中点的坐标为________________...