3．4.1 基本不等式的证明学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆 O 的直径，点 Q 是 AB 上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点 Q 作 PQ 垂直 AB于 Q，连结 AP，PB.如何用 a，b 表示 PO，PQ 的长度？ 梳理 一般地，对于正数 a，b，为 a，b 的________平均数，为 a，b 的________平均数．两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤.其几何意义如图中的 PO≥PQ.知识点二 基本不等式及其常见推论思考 如何证明不等式≤(a>0，b>0)? 梳理 ≤(a>0，b>0)．当对正数 a，b 赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤()2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b 同号)；(3)当 ab>0 时，＋≥2；当 ab<0 时，＋≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．类型一 常见推论的证明例 1 证明不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．引申探究证明不等式()2≤(a，b∈R)． 反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是 a，b∈R，与基本不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练 1 已知 a，b，c 为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 类型二 用基本不等式证明不等式例 2 已知 x，y 都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：① 多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练 2 已知 a，b，c 都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc. 类型三 用基本不等式比大小例 3 某工厂生产某种产品，第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x(a，b，x 均大于零)，则 x 与的大小关系是________．反思与感悟 基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练 3 设 a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg ，则 P，Q，R 的大小...
