高中数学 第二单元 平面向量 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一 向量的夹角思考 1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 思考 2 △ABC 为正三角形，设AB＝a，BC＝b，则向量 a 与 b 的夹角是多少？ 梳理 两个向量夹角的定义(1)已知两个非零向量 a，b，作OA＝a，OB＝b，则________称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作________，并规定它的范围是______________.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝________.(2)当__________时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作__________.知识点二 向量在轴上的正射影思考 向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？ 梳理 向量在轴上的正射影已知向量 a 和轴 l(如图).作OA＝a，过点 O，A 分别作轴 l 的垂线，垂足分别为 O1，A1，则向量O1A1叫做向量 a 在轴 l上的正射影(简称射影)，该射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在________上的数量或在____________上的数量.OA＝a 在轴 l 上正射影的坐标记作 al，向量 a 的方向与轴 l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有 al＝|a|cos θ.知识点三 向量的数量积(内积)思考 1 如图，一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，且力 F 与位移 s 的夹角为 θ，那么力 F所做的功 W 是多少？ 思考 2 对于两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)记作 a·b，即 a·b＝|a|·|b|cos θ，那么 a·b 的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 梳理 向量数量积的定义____________叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cosa，b.知识点四 向量数量积的性质思考 1 设 a 与 b 都是非零向量，若 a⊥b，则 a·b 等于多少？反之成立吗？ 思考 2 当 a 与 b 同向时，a·b 等于什么？当 a 与 b 反向时，a·b 等于什么？特别地，a·a等于什么？ 思考 3 ︱a·b︱与︱a||b︱的大小关系如何？为什么？对于向量 a，b，如何求它们的夹角θ？ 梳理 两个向量内积有如...