高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案VIP专享

3.3.1 函数的单调性与导数1.掌握函数的单调性与导数的关系.(难点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)3.能根据函数的单调性求参数.(难点)[基础·初探]教材整理 函数的单调性与导数阅读教材 P89～P90“思考”部分，完成下列问题.1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则函数 f(x)在定义域上单调递增.( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )(4)在区间(a，b)内，f′(x)>0 是 f(x)在此区间上单调递增的充要条件.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×[小组合作型]求函数的单调区间 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2ln x；(3)f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0). 1【导学号：97792043】【精彩点拨】 在定义域内解不等式 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)，确定单调区间.【自主解答】 (1)函数的定义域为 R， f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1.令 f′(x)＞0，解得 x＞1 或 x＜.因此 f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞).令 f′(x)＜0，解得＜x＜1.因此 f(x)的单调递减区间是.(2)函数的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝6x－＝2·.令 f′(x)＞0，即 2·＞0，解得－＜x＜0 或 x＞.又 x＞0，∴x＞；令 f′(x)＜0，即 2·＜0，解得 x＜－或 0＜x＜，又 x＞0，∴0＜x＜.∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋.① 当 a＞0 时，f′(x)＝x＋＞0 恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)；② 当 a＜0 时，由 f′(x)＝x＋＞0，得 x＞；由 f′(x)＝x＋＜0，得 0＜x＜，所以当 a＜0时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是(0，).综上，当 a＞0 时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当 a＜0 时，单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，).利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 ...