3.4.2 基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点 用基本不等式求最值思考 因为 x2＋1≥2x，当且仅当 x＝1 时取等号．所以当 x＝1 时，(x2＋1)min＝2.以上说法对吗？为什么？答案 错．显然(x2＋1)min＝1.x2＋1≥2x，当且仅当 x＝1 时取等号．仅说明曲线 y＝x2＋1 恒在直线 y＝2x 上方，仅在 x＝1时有公共点．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．梳理 基本不等式求最值的条件：(1)x，y 必须是非负数；(2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．1．当 a>0，b>0 时，有≤.(√)2．由于 sin2x＋≥2＝4，所以 sin2x＋的最小值为 4.(×)类型一 基本不等式与最值例 1 (1)若 x>0，求函数 y＝x＋的最小值，并求此时 x 的值；(2)设 02，求 x＋的最小值；(4)已知 x>0，y>0，且＋＝1，求 x＋y 的最小值．考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 (1)当 x>0 时，x＋≥2＝4，当且仅当 x＝，即 x2＝4，x＝2 时，取等号．∴函数 y＝x＋(x>0)在 x＝2 处取得最小值 4.(2) 00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝时，等号成立． ∈，∴函数 y＝4x(3－2x)的最大值为.(3) x>2，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当 x－2＝，即 x＝4 时，等号成立．∴x＋的最小值为 6.(4)方法一 x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，当且仅当＝，＋＝1，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号．故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.方法二 由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．由＋＝1 可知 x>1，y>9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号，故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为非负数；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．跟踪训练 1 (1)已知 x>0，求 f(x)＝＋3x 的最...
