高中数学 第二单元 平面向量 2.3.2 向量数量积的运算律学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

2.3.2 向量数量积的运算律学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.知识点一 平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝baa·b＝b·a结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c知识点二 平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca梳理 与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”.类型一 向量数量积的运算性质例 1 给出下列结论：①若 a≠0，a·b＝0，则 b＝0；②若 a·b＝b·c，则 a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④ a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.反思与感悟 向量的数量积 a·b 与实数 a、b 的乘积 a·b 有联系，同时有许多不同之处.例如，由 a·b＝0 并不能得出 a＝0 或 b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.跟踪训练 1 设 a，b，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②(b·c)·a－(c·a)·b 不与 c 垂直；③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的是________.(填序号)类型二 平面向量数量积有关的参数问题命题角度 1 已知向量垂直求参数值例 2 已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)·b，且 b⊥c，则 t＝________.反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b⇔a·b＝0.跟踪训练 2 已知向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数 k 等于( )A.－ B.0 C.3 D.命题角度 2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例 3 已知 e1与 e2是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1＋ke2与 ke1＋e2的夹角为锐角， 则 k 的取值范围为________.反思与感悟 由两向量夹角 θ 的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量 a，b，θ∈[0，)⇔a·b>0，θ∈(，π]⇔a·b<0.跟踪训练 3 设两个向量 e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2与 e1＋te2的夹角为钝...