第一节 平行线等分线段定理课堂导学三点剖析一、平行线分线段成比例定理及推论的应用【例 1】如图 1-1-1,已知△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 为 AD 中点,BE 的延长线交 AC 于 F
图 1-1-1求证:AF= 31 AC
思路分析：欲证 AF= 31 AC,只要取 FC 的中点 G,然后证 AF=FG=GC 即可,或者过 D 作 DG∥BF,再证 AF=FG=GC
证法一:取 FC 中点 G, BD=DC,∴DG 为△BFC 的中位线
∴DG∥EF
在△ADG 中,E 为 AD 中点,∴F 为 AG 中点
∴AF=FG=GC
∴AF= 31 AC
证法二:过 D 作 DG∥BF 交 AC 于 G
在△ADG 中,E 为 AD 中点,∴AF=FG
在△BCF 中,D 为 BC 中点,∴FG=GC
∴AF=FG=GC
∴AF= 31 AC
温馨提示 证法一利用取中点和中位线定理得平行,然后再利用定理及推论证得线段相等
证法二是作平行线,直接利用定理或推论
二、线段和差的证明问题【例 2】如图 1-1-3,ABCD 中,AC、BD 相交于 O,以 A 为端点引射线 AM,分别过 B、C、D 向 AM 作垂线,垂足分别为 B′、C′、D′
求证:AD′=B′C′
图 1-1-3思路分析：平行四边形对角线互相平分,容易看出 O 是△AC′C 的边 AC 的中点,也是梯形 BDD′B′的腰 BD 的中点
为此,只要过 O 作 OO′⊥AM 或 OO′∥DD′易得 O′分别为 AC′和 B′D′的中点,即 O′A=O′C′,O′D′=O′B′,两式相减即得证
证明:作 OO′⊥AM,O′为垂足, ABCD 为平行四边形,∴AO=CO,BO=DO
又 DD′,OO′,BB′,CC′都垂直于 AM,1∴DD′∥OO′∥BB′∥CC′
∴O′A=O′C′,O′D′=O
