第一节 平行线等分线段定理课堂导学三点剖析一、平行线分线段成比例定理及推论的应用【例 1】如图 1-1-1,已知△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 为 AD 中点,BE 的延长线交 AC 于 F.图 1-1-1求证:AF= 31 AC.思路分析：欲证 AF= 31 AC,只要取 FC 的中点 G,然后证 AF=FG=GC 即可,或者过 D 作 DG∥BF,再证 AF=FG=GC.证法一:取 FC 中点 G, BD=DC,∴DG 为△BFC 的中位线.∴DG∥EF.在△ADG 中,E 为 AD 中点,∴F 为 AG 中点.∴AF=FG=GC.∴AF= 31 AC.证法二:过 D 作 DG∥BF 交 AC 于 G.在△ADG 中,E 为 AD 中点,∴AF=FG.在△BCF 中,D 为 BC 中点,∴FG=GC.∴AF=FG=GC.∴AF= 31 AC.温馨提示 证法一利用取中点和中位线定理得平行,然后再利用定理及推论证得线段相等. 证法二是作平行线,直接利用定理或推论.二、线段和差的证明问题【例 2】如图 1-1-3,ABCD 中,AC、BD 相交于 O,以 A 为端点引射线 AM,分别过 B、C、D 向 AM 作垂线,垂足分别为 B′、C′、D′.求证:AD′=B′C′.图 1-1-3思路分析：平行四边形对角线互相平分,容易看出 O 是△AC′C 的边 AC 的中点,也是梯形 BDD′B′的腰 BD 的中点.为此,只要过 O 作 OO′⊥AM 或 OO′∥DD′易得 O′分别为 AC′和 B′D′的中点,即 O′A=O′C′,O′D′=O′B′,两式相减即得证.证明:作 OO′⊥AM,O′为垂足, ABCD 为平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.又 DD′,OO′,BB′,CC′都垂直于 AM,1∴DD′∥OO′∥BB′∥CC′.∴O′A=O′C′,O′D′=O′B′.∴O′A-O′D′=O′C′-O′B′,即 AD′=C′B′.三、探索线段间的关系【例 3】如图 1-1-5,已知 M 是 AB 中点,A、B 在 l 的两侧,分别过 A、B、M 作直线 l 的垂线,垂足分别为 C、D、N.请探讨 AC、BD、MN 的关系并证明.图 1-1-5(1)思路分析：假设 B、D 重合,则图形变为图 1-1-5(2).图 1-1-5(2) AC⊥l,MN⊥l,∴MN∥AC.又 M 是中点,∴N 是 BC 中点,MN 是△ABC 的中位线.∴MN= 21 AC.而当 B、D 不重合时,要么 MN= 21 (AC+BD),要么 MN= 21 (AC-BD).通过观察,A、B 在 l 异侧时 MN＜ 21 AC,因此我们猜想 MN= 21 (AC-BD).下面我们给出猜想的证明.解:如图 1-1-5(1),连结 DM 并延长交 AC 于 E, AC、MN、BD 都垂直于 l,∴AC∥MN∥BD.又 M 是中点,∴N 是 CD 的中点.∴MN 是△CDE 的中位线.∴MN= 21 EC= 21 (AC-AE). AE∥B...
