第三章 导数及其应用[自我校对]① 斜率②y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)③f′(x)±g′(x)④f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)⑤ 导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是不是切点，常见类型有两种：(1)函数 y＝f(x)“在点 x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).1(2)函数 y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定是切点，可先设切点Q(x1，y1)，则切线斜率为 f′(x1)，再由切线过点 P(x0，y0)得斜率为，又由 y1＝f(x1)，由上面两个方程可得切点(x1，y1)，即求出了过点 P(x0，y0)的切线方程. 已知函数 f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线 m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求 a 的值；(2)是否存在实数 k，使直线 m 既是曲线 y＝f(x)的切线，又是 y＝g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，说明理由.【精彩点拨】 (1)→→(2)→→→【规范解答】 (1)因为 f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且 f′(－1)＝0，所以 3a－6－6a＝0，得 a＝－2.(2)因为直线 m 过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线 y＝g(x)相切的直线方程.设切点为(x0,3x＋6x0＋12)，又因为 g′(x0)＝6x0＋6.所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0).将点(0,9)代入，得 9－3x－6x0－12＝－6x－6x0，所以 3x－3＝0，得 x0＝±1.当 x0＝1 时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为 y＝12x＋9；当 x0＝－1 时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为 y＝9.下面求曲线 y＝f(x)的斜率为 12 和 0 的切线方程：因为 f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以 f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由 f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1.当 x＝0 时，f(0)＝－11，此时切线方程为 y＝12x－11；当 x＝1 时，f(1)＝2，此时切线方程为 y＝12x－10.所以 y＝12x＋9 不是公切线.由 f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.当 x＝－1 时，f(－1)＝－18，此时切线方程为 y＝－18；当 x＝2 时，f(2)＝9，此时切线方程为 y＝9，所以 y＝9 是公切线.综上所述，当 k＝0 时，y＝9 是两曲线的公切线.此题直线 m 恒过点0，9是解题的突破口，即若 m 是 fx，gx的公切线，则切线必过点0，9. 一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程...
