高中数学 第三章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题教学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学教学案

2．2 最大值、最小值问题1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．问题 1：试说明 y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题 2：你能说出 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提 示 ： 函 数 的 最 小 值 是 f(a) ， f(x2) ， f(x4) 中 最 小 的 ， 函 数 的 最 大 值 是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．问题 3：根据问题 2 回答函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．提示：在极值点或端点中．1．最值点(1)最大值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过 f(x0)．(2)最小值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于 f(x0)．2．最值函数的最大值与最小值统称为最值．(1)一般地，连续函数 f(x)在[a，b]上有最大值与最小值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．求函数的最值[例 1] (1)求函数 f(x)＝x3－x2－2x＋5 在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数 f(x)＝x＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值．[精解详析] (1)因为 f(x)＝x3－x2－2x＋5，所以 f′(x)＝3x2－x－2.令 f′(x)＝0，解得 x1＝－，x2＝1.因为 f＝，f(1)＝，f(－2)＝－1，f(2)＝7，所以函数 f(x)在[－2,2]上的最大值是 7，最小值是－1.(2)因为 f(x)＝x＋sin x，所以 f′(x)＝＋cos x，令 f′(x)＝0，解得 x1＝，x2＝.因为 f(0)＝0，f＝＋，f＝－，f(2π)＝π，所以函数 f(x)在[0,2π]上的最大值是 π，最小值是 0.[一点通] 求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数 f′(x)；(2)求方程 f′(x)＝0 的全部实根 x0；(3)将 f(x0)的各个值与 f(a)，f(b)进行比较，确定 f(x)的最大值与最小值．1．函数 f(x)＝x3－3x2＋6x－10 在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：因为 f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0，∴函数 f(x)在区间[－1,1]上单调递增，∴当 x＝1 时，函数 f(x)取得...