一 平行线等分线段定理互动课堂重难突破 一、平行线等分线段定理平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知 a∥b∥c，直线 m、n 分别与 a、b、c交于点 A、B、C 和 A′、B′、C′(如图 1-1-2)，如果 AB=BC，那么 A′B′=B′C′.图 1-1-2对于定理的证明，如图 1-1-3 所示，分 m∥n 和 m 不平行于 n 两种情况证明.当 m∥n 时，直接运用平行四边形加以证明；当 m 不平行于 n 时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.图 1-1-3定理的条件是 a、b、c 互相平行，构成一组平行线，m 与 n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线 a、b、c 相交，即被平行线 a、b、c 所截.平行线的条数还可以更多.应当注意定理图形的变式:对于三条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图 1-1-4):如果已知 l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线 DE 的位置变化不影响定理的结论.图 1-1-4图 1-1-5 利用本定理可将一线段分成 n 等份，也可以证明线段相等或转移线段的位置.平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这1一命题是错误的，如图 1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下:推论 1:如图 1-1-6(1)，在△ACC′中，AB =BC，BB′∥CC′交 AC′于 B′点.求证:B′是AC′的中点.证明:如图 1-1-6(2)，过 A 作 BB′与 CC′的平行线 a，分别双向延长线段 BB′、CC′,得直线 b、c. a∥b∥c，AB =BC，∴由平行线等分线段定理，有 AB′=B′C′，即 B′是 AC′的中点.图 1-1-6推论 2:如图 1-1-7(1)，已知在梯形 ACC′A′中，AA′∥CC′，AB =BC，BB′∥CC′.求证:B′是 A′C′的中点.证明: 梯形 ACC′A′中 AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又 AB =BC，分别延长 AA′、BB′、CC′为 a、b、c,如图 1-1-7.∴由平行线等分线段定理，有 A′B′=B′C′，即 B′是 A′C′的中点.图 1-1-7三、刨根问底问题 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系...
