高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质本讲小结学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

第一讲 相似三角形的判定及有关性质整合提升知识网络典例精讲【例 1】 如图 1-1 已知△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,求证: ACAB = CDBD .图 1-1思路分析:比例线段常由平行线而产生,在没有平行时,可通过添加平行线而促成比例线段的产生.证法一:过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E. AD∥CE,∴ DCBD = AEBA .又 ∠1=∠3,∠2=∠4,AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.∴AC=AE.∴ CDBD = ACAB . 温馨提示 这里使用了平行线分线段成比例定理推论,通过等线代换方法使问题得证.证法二:过 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E,则∠2=∠3.图 1-2又 ∠1=∠2,∴∠1=∠3.∴EA=ED.又 EABE = DCBD ,ACAB = EDBE = EABE .∴ ACAB = CDBD .温馨提示1 本题利用平行线及等比代换,使问题得证.证法三:过 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E,DF∥AB 交 AC 于 F.易证四边形 AEDF 是菱形.图 1-3∴DE=DF.由于△BDE∽△DFC,∴ CDBD = DFBE = DEBE .又 DEBE = ACAB ,∴ ACAB = CDBD .温馨提示 这种方法使用了相似三角形的边对应成比例.图 1-4证法四:设△ABC 中 BC 边上的高为 h,则 S△ABD= 21 BD·h,S△ACD= 21 CD·h.过 D 分别作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,则 S△ABD= 21 AB·DE,S△ACD= 21 AC·DF.于是ACDABDSS=DFACDEABhCDhBD21212121.又 ∠1=∠2,∴DE=DF.∴ ACAB = CDBD .温馨提示 利用三角形面积也是一种常用方法.面积方法常有事半功倍之效.【例 2】 如图 1-5,梯形 ABCD 中,BA∥CD,对角线 AC、BD 交于点 E,过 E 作 FG∥AB,交 AD、BC 于G、F 点.(1)求证:EF=EG.2(2)求证: AB1+ CD1 = FG2.(3)若直线 l 平行于底边但不过 E,与 BC、AC、BD、AD 分别交于 F′、M、N、G′,试问:F′M 与 G′N 有何关?并说明理由.图 1-5证明:(1) AB∥FG∥CD,∴ ABEF = CBCF = DADG = ABEG .∴EF=EG.(2) EF∥ABEFAB = ECAC  AB=ECEFAC .同理,CD=AEEGAC .由(1)知 EF=EG.∴ AB1+ CD1 =FGEGEFEGEGEGACAEEC22221.(3) FG∥F′G′,∴GENGDGDGCFCFEFMF''''.而 EF=GE.∴F′M=G′N.温馨提示(1)中利用比例式证明线段相等,ma =nbmnmn2211,则 a=b.(2)利用比例法证明形如cba111线段关系式,常采用思路是设法证明dmac1,dmbc2且 m1+m2=d,则dmmbcac21 =1.从而cba111.(3)利用运动变化思想以及从特殊...