高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质单元整合学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案VIP专享

第一讲 相似三角形的判定及有关性质单元整合知识网络专题探究专题一 证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法．解决这类问题一般可分为三步：(1)把等积式化为比例式，从而确定相关的两个三角形相似．(2)确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或者竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形．(3)设法找到证明这两个三角形相似的条件．【例 1】如图，已知△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D，E 是 AC 的中点，连接 ED 并延长与 AB 的延长线交于点 F.求证：＝.提示：由条件知 AB∶AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶AF，即证△FAD∽△FDB.证明： ∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽Rt△CAB.∴AB∶AC＝BD∶AD.又 E 是 AC 的中点，∴AE＝DE＝EC.∴∠DAE＝∠ADE.∴∠BAD＝∠CDE＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD.∴BD∶AD＝DF∶AF，即 AB∶AC＝DF∶AF.【例 2】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E 为底边 BC 上的任意一点，过点 E 作与 AD 平行1的直线，分别交 AB，CA 的延长线于点 F，G，求证：＝.证明：过点 C 作 CH∥AD 并交 BA 的延长线于点 H，则＝. EF∥AD，∴＝，∴＝. AD∥CH，∴＝. AD 平分∠BAC，AD∥CH，∴∠BAD＝∠CAD，∠BAD＝∠H，∠CAD＝∠ACH，∴∠ACH＝∠H，∴AC＝AH.∴＝.又 AD∥EG，∴＝.∴＝.专题二 利用相似三角形证明线段相等证明两条线段相等，一般情况下，利用等角对等边或全等三角形的性质来解决．但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法得不出来，或过程比较烦琐，此时可以借助相似三角形的有关比例线段来解决．【例 3】如图，AD，CF 是△ABC 的两条高线，在 AB 上取一点 P，使 AP＝AD，再从 P 点引 BC 的平行线与 AC 交于点 Q.求证：PQ＝CF.提示：利用相似三角形的性质，并结合 AP＝AD 进行证明．证明： AD，CF 是△ABC 的两条高线，∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF.∴＝.2又 PQ ∥BC，∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠ACB，∴△APQ∽△ABC.∴＝，即＝.∴＝.又 AP＝AD，∴PQ＝CF.【例 4】如图，△ABC 为直角三角形，∠ABC＝90°，以 AB 为边向外作正方形 ABDE，连接 EC交 AB 于点 P，过点 P 作 PQ∥BC 交 AC 于点 Q.求证：PQ＝PB.提示：要证 PQ＝PB，直接证明不好证，可以通过证明有关的三角形相似得出比例式，再由等式的性...