第一讲 坐标系单元整合知识网络专题探究专题一 平面直角坐标系中的伸缩变换函数 y＝f(ωx)(x∈R)(其中 ω＞0，且 ω≠1)的图象，可以看作把 f(x)图象上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的倍(纵坐标不变)而得到的．函数 y＝Af(x)(x∈R)(其中 A＞0，且A≠1)的图象，可以看作把 f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当 A＞1 时)或缩短(当 0＜A＜1时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的．图形变换中的伸缩变换我们可记作变换公式在使用时，需分清新旧坐标．【应用】在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：(1)曲线 x2－y2－2x＝0 变成曲线 x′2－16y′2－4x′＝0；(2)曲线 x2＋y2＝4 变成曲线＋＝1.解：(1)设变换为则 x′2－16y′2－4x′＝0 可化为 λ2x2－16μ2y2－4λx＝0，即 x2－y2－x＝0. x2－y2－2x＝0，∴∴∴所求变换为(2)设变换为则有 x2＋y2＝1.又＋＝1，∴∴∴所求变换为专题二 极坐标的应用在极坐标系中，有关点到直线的距离，圆与直线的位置关系的判断等问题，一般先将极坐标(方程)转化为直角坐标(方程)．再求解．【应用】求点 M 到直线 ρcos＝2 上的点的距离的最小值．提示：可以先化为直角坐标再求解．1解：点 M 的直角坐标为(2,2)， ρcos＝2，∴ρ＝2.∴ρcos θ＋ρsin θ＝2.∴x＋y＝2，即 x＋y－4＝0.∴d＝＝2，即点 M 到直线 ρcos＝2 上的点的距离的最小值为 2.专题三 求轨迹的极坐标方程求轨迹方程的方法——直接法、定义法、相关点代入法等，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标，ρ，θ 所满足的关系式，再化简求解．【应用 1】从原点 O 引直线交直线 2x＋4y－1＝0 于点 M，P 为 OM 上一点，已知|OP||OM|＝1.求点 P 的轨迹的极坐标方程．提示：本题中，由于 P，M，O 三点共线，因此∠POx＝∠MOx，可建立极坐标系，求其轨迹方程．解：以 O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为 2ρcos θ＋4ρsin θ－1＝0.设 M(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则 2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.①由知代入①得，2cos θ＋4sin θ－1＝0，∴ρ＝2cos θ＋4sin θ.点评 (1)当所求的动点的轨迹与已知点及原点共线时，可用建立极坐标系的方法求其轨迹方程，因为此时动点与已知点有相同的极角．(2)本题中求轨迹的方法称为代入法．【应用 2】已知定点 A(a,0)，动点 P 对极点 O 和点 A 的张角∠OPA＝.在 OP 的延长线上取点 ...
