高中数学 第一讲 坐标系复习课学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案VIP专享

第一讲 坐标系复习课学习目标 1.复习回顾坐标系的重要知识点.2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问题时的优越性．1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点 P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)在平面上取一个定点 O，由 O 点出发的一条射线 Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．平面上任一点 M的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标．ρ 称为极径，θ 称为极角．(2)极坐标与直角坐标的互化设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：或顺便指出，上式对 ρ<0 也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．曲线极坐标方程的求法求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式 f(ρ，θ)＝0 表示出来，就得到曲线的极坐标方程．类型一 求曲线的极坐标方程例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C，半径 r＝3.(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)若点 Q 在圆 C 上运动，点 P 在 OQ 的延长线上，且OQ＝2QP，求动点 P 的轨迹方程．解 (1)设 M(ρ，θ)是圆 C 上除 O(0,0)以外的任意一点，在△OCM 中，∠COM＝，由余弦定理，得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM，∴32＝ρ2＋32－2×ρ×3cos，即 ρ＝6cos.经检验，点 O(0,0)也在此方程所表示的圆上．∴圆 C 的极坐标方程为 ρ＝6cos.(2)设点 Q 为(ρ1，θ1)，点 P 为(ρ0，θ0)，由OQ＝2QP，得OQ＝2(OP－OQ)，∴OQ＝OP，∴ρ1＝ρ0，θ1＝θ0，将其代入圆 ρ1＝6cos，得 ρ0＝6cos，即 ρ0＝9cos.所以动点 P 的轨迹方程为 ρ＝9cos.反思与感悟 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标 ρ，θ 的关系．跟踪训练 1 在极坐标系中，过点作圆 ρ＝4sinθ 的切线，求切线的极坐标方程．解 把代入圆的极坐标方程 ρ＝4sin...